已知圆和直线x-6y-10=0相切于(4,-1),且经过点(9,6),求圆的方程.

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  • 解题思路:设出圆心坐标,因为(4,-1)和(9,6)在圆上,所以利用两点间的距离公式表示出两点到设出圆心的距离,并让其相等列出关于a与b的方程,记作①,然后根据圆的切线垂直于过切点的直径,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,由已知直线的斜率求出直径所在直线的斜率,根据切点坐标和求出的斜率写出直径所在直线的方程,把圆心坐标代入又得到关于a与b的方程,记作②,联立①②,即可求出a与b的值得到圆心坐标,然后利用两点间的距离公式求出圆心到(9,6之间的距离即为圆的半径,根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可.

    设圆心坐标为(a,b),因为点(4,-1),点(9,6)都是圆上的点,

    所以圆心与这两个点的距离相等,即(a-9)2+(b-6)2=(a-4)2+(b+1)2

    化简得:50-5a=7b①,

    又因为圆与直线x-6y-10=0切于(4,-1),所以直径所在直线的斜率为-6,

    所以经过(4,-1)的圆直径所在直线的方程为y+1=-6(x-4),

    由于圆心在此直线方程上,代入得:b+1=-6(a-4)②,

    联立①②,解得a=3,b=5,即圆心坐标为(3,5),

    则圆的半径r=

    (3−9)2+(5−6)2=

    37,

    所以圆的标准方程为:(x-3)2+(y-5)2=37.

    点评:

    本题考点: 圆的一般方程.

    考点点评: 此题考查学生掌握切线的性质,灵活运用两点间的距离公式化简求值,掌握两直线垂直时斜率满足的关系,会根据圆心与半径写出圆的标准方程,是一道综合题.