Question

设A是一个n阶矩阵,且det(A)=a≠0.证明A可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag(1,1,.,1,a）.

Answer 1

分三步来证

1) 第一类初等变换(即交换两行或两列)"差不多"可以用第三类初等变换来实现.

注意第一类初等变换的行列式是-1,而第三类初等变换的行列式是1,不可能完全实现第一类初等变换,所以效果上稍微会差一些.

用第三类初等变换可以实现(x,y) -> (-y,x)的变换,具体如下

(x,y) -> (x,x+y) -> (-y,x+y) -> (-y,x)

2) 既然有了行交换(差一个负号)和第三类初等变换,那么就可以使用Gauss消去法,把A化成对角阵.

3) 当xy≠0时第三类初等变换可以把diag{x,y}变到diag{1,xy},具体如下

[x,0; 0,y] -> [x,0; -1,y] -> [0,xy; -1,y] -> [0,xy; -1,-0] -> [1,0; 0,xy]

最后一步就是带负号的行交换

这样就能把前n-1个对角元逐个归一化