Question

（1）求过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程．

Answer 1

解题思路：（1）设圆心坐标为（a，2-a）且半径为r，利用圆的标准方程结合题意建立关于a、r的方程组，解之即可得到所求圆C的标准方程；

（2）设反射线与圆相切的切点为B，点Ax轴对称的点为A'（-2，-3），由题意可知反射线即为直线A'B．因此设直线A'B方程为y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式建立关于k的方程并解出k的值，即可得到所求反射线所在的直线方程．

（1）∵圆心C在直线x+y-2=0上

∴设圆的方程为（x-a）²+（y-2+a）²=r²

∵圆C经过点A（1，-1）和B（-1，1），

∴

(1−a)2+(−1−2+a)2＝r2

(−1−a)2+(1−2+a)2＝r2，解之得a=1，r=2

因此所求圆C的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=4；

（2）点A（-2，3）关于x轴对称的点为A'（-2，-3），

设反射线与圆相切的切点为B，根据题意得反射线所在直线是A'B所在直线

设直线A'B方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0

可得圆心（3，2）到直线的距离d=

|5k−5|

k2+1=r=1

解之得k=[4/3]或[3/4]，

由此可得直线A'B方程为4x-3y-1=0或3x-4y-6=0，即为所求反射线所在直线方程．

点评：

本题考点： 关于点、直线对称的圆的方程；圆的标准方程．

考点点评： 本题求满足条件的直线与圆的方程．着重考查了圆的标准方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于基础题．