1、
把每一列都加到第1列,得到
D=
x+a1+a2+a3+a4 a1 a2 a3 a4
x+a1+a2+a3+a4 x a2 a3 a4
x+a1+a2+a3+a4 a2 x a3 a4
x+a1+a2+a3+a4 a2 a3 x a4
x+a1+a2+a3+a4 a2 a3 a4 x 提取出第1列的x+a1+a2+a3+a4
=
1 a1 a2 a3 a4
1 x a2 a3 a4
1 a2 x a3 a4
1 a2 a3 x a4
1 a2 a3 a4 x *(x+a1+a2+a3+a4)
第2列减去第1列*a1,第3列减去第1列*a2,第4列减去第1列*a3,第5列减去第1列*a4
=
1 0 0 0 0
1 x-a1 0 0 0
1 a2-a1 x-a2 0 0
1 a2-a1 a3-a2 x-a3 0
1 a2-a1 a3-a2 a4-a3 x-a4 *(x+a1+a2+a3+a4)
= 这样就得到了三角形行列式
(x+a1+a2+a3+a4) *(x-a1)*(x-a2)*(x-a3)*(x-a4)
2、
显然由特征值的意义可以知道,
Aη=λη,
所以
A=(η1,η2,η3) (2,-2,1)^T (η1,η2,η3)^(-1)
先求(η1,η2,η3)^(-1),
0 1 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 r2-r1
～
0 1 1 1 0 0
1 0 0 -1 1 0
1 1 0 0 0 1 r3-r2,交换r1和r2
～
1 0 0 -1 1 0
0 1 1 1 0 0
0 1 0 1 -1 1 r2-r3,交换r2和r3
～
1 0 0 -1 1 0
0 1 0 1 -1 1
0 0 1 0 1 -1
即
(η1,η2,η3)^(-1)=
-1 1 0
1 -1 1
0 1 -1
所以
A=(η1,η2,η3) (2,-2,1)^T (η1,η2,η3)^(-1)=
0 1 1 *2 0 0 * -1 1 0
1 1 1 0 -2 0 1 -1 1
1 1 0 0 0 1 0 1 -1
=
0 -2 1 * -1 1 0
2 -2 1 1 -1 1
2 -2 0 0 1 -1
=
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2
于是解得A=
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2