Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．

Answer 1

解题思路：（1）由已知可设函数的顶点式f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），再由f（0）=3可得a；

（2）由题意可知区间在对称轴的一侧，由此可得不等式；

（3）对于任意的实数x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等价于g（x）_max-g（x）_min≤8，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论可求得最值，再解不等式即可；

（1）∵f（0）=f（2），

∴f（x）的对称轴为x=1，

又f（x）的最小值为1，

∴设f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），

则f（0）=a+1=3，解得a=2，

∴f（x）=2（x-1）²+1；

（2）由题意，得2t≥1或t+1≤1，

解得t≥

1

2或t≤0；

（3）g（x）=f（x）+4（1-m）x=2x²-4mx+3，

对于任意的实数x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等价于g（x）_max-g（x）_min≤8，

①当m≤-1时，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（-1）=5+4m，

∴（5-4m）-（5+4m）≤8，即-8m≤8，解得m≥-1，

∴m=-1；

②当m≥1时，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（1）=5-4m，

∴（5+4m）-（5-4m）≤8，即8m≤8，解得m≤1，

∴m=1；

③当-1＜m≤0时，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，

∴（5-4m）-（3-2m²）≤8，即m²-2m-3≤0，解得-1≤m≤3，

∴-1＜m≤0；

④当0＜m＜1时，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，

∴（5+4m）-（3-2m²）≤8，即-3≤m≤1，

∴0＜m＜1；

综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查了用待定系法求二次函数解析式的方法，关键是选择适当的形式；研究二次函数的单调性主要是研究对称轴与区间的关系．考查二次函数在给定区间上的最值，考查分类讨论思想．