解题思路:(1)证明AP=EQ即可得到结论;
(2)若四边形APEQ是矩形,则△BPE为直角三角形,且∠B=∠C=60°,据此可以求得点P的运动时间.
(3)若四边形APEQ是菱形,可以借用余弦定理来解决问题;
(4)四边形APEQ不能是正方形.由(2)知Rt△BPE中,∠B=60°,∠BEP=30°,可以得到答案.
(1)∵QE∥AB,
∴∠QEC=∠B=∠C=60°,即△QEC是等边三角形,
∴QE=EC=CQ=AP,四边形APEQ是平行四边形.
(2)当四边形APEQ是矩形时,∠PAQ=BPE=90°,
在Rt△BPE中,
∵∠B=60°,
∴∠BEP=30°,
∴BP=[1/2]BE=[1/2](BC-CE)=[1/2](4-CE),
BP=AB-AP=3-AP,AP=CE=2,
即P运动2秒,四边形APEQ是矩形.
(3)当四边形APEQ是菱形时,
设AP=PE=EQ=QA=x,PB=3-x,BE=4-x
在△PBE中,应用余弦定理得:PE2=PB2+BE2-2PB×BEcos∠B
x2=(3-x)2+(4-x)2-2(3-x)×(4-x)×cos60°,解得x=[13/7],
(4)四边形APEQ不能是正方形.由(2)知Rt△BPE中,∠B=60°,∠BEP=30°,
必有PE=
3
2BE,但EQ=EC=4-BE,从而PE≠EQ.
点评:
本题考点: 正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定.
考点点评: 本题考查了四边形的判定与证明方法,以及特殊四边形的判定与证明的方法,解题的关键在于熟练记忆特殊四边形的性质定义.