Question

已知f（x）=a2x-2ax+1+2，（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．

Answer 1

解题思路：（I）换元，转化为二次函数，利用配方法可求y=f（x）的最小值；

（Ⅱ）换元，分离参数，求最大值，即可求a的范围．

（Ⅰ）若a=2，f（x）=2^2x-4×2^x+2，x∈[-1，+∞）

令t=2^x，g（t）=f（x）=t²-4×t+2=（t-2）²-2，

∵t∈[

1

2，+∞)，∴f（x）的最小值为-2；…（5分）

（Ⅱ）令t=a^x，h(t)＝f(x)＝t2−2at+2≤3⇒2a≥t−

1

t…（7分）

当0＜a＜1时，2a≥t−

1

t在t∈[a2，

1

a]恒成立…（9分）⇒2a≥[t−

1

t]max＝

1

a−a⇒3a≥

1

a⇒a≥

3

3…（11分）

所以a∈[

3

3，1)．…（12分）

点评：

本题考点： 复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．