Question

用归纳法证明：想(1) x>=-1,n>=1,(1+n)^n>=1+nx (2) 2^n>=n^2 (n>=5)

Answer 1

1,(1+n)^n应该是,(1+x)^n吧

当n=1时候 等号成立

假设n=k,等号成立,即有 ,(1+x)^k>=1+kx

当n=k+1时,

(1+x)^（k+1）=,(1+x)^k*（1+x）>=（1+kx）（1+x）=1+kx+x+kx^2》1+（k+1）x

成立

2.当n=5时,成立,假设n=k成立2^k>=k^2

当n=k+1时,2^k+1=2*2^k>=2k^2=k^2+2k+1+k^2-2k-1 考虑函数k^2-2k-1,因为在5到正无穷是增函数,所以它的最小值是14大于0 所以

k^2+2k+1+k^2-2k-1》k^2+2k+1=（k+1）^2

即n=k+1也成立