Question

函数f（x）=2x2-4x+1（x∈R），若f（x1）=f（x2），且x1＞x2，则x21+x22x1−x2的最小值为_

Answer 1

解题思路：利用二次函数单调函数的对称轴为x=1，由f（x₁）=f（x₂），得到x₁=2-x₂，代入利用基本不等式，即可求出式子的最小值．

∵f（x）=2x²-4x+1，

∴二次函数的对称轴为x=1，

又f（x₁）=f（x₂），

∴x₁=2-x₂，x₂=2-x₁，

∵x₁＞x₂，

∴x₁＞1，

则

x21+

x22

x1−x2=

x21+(2−

x 1)2

x1−2+x1=

2

x21−4

x 1+4

2x1−2=

x21−2x1+2

x1−1=

(x1−1)2+1

x1−1=(x1−1)+

1

x1−1，

∵x₁＞1，

∴x₁-1＞0，

∴由基本不等式得则

x21+

x22

x1−x2=(x1−1)+

1

x1−1≥2

(x1−1)•

1

x1−1＝2，

当且仅当x₁-1=

1

x

点评：

本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质；函数最值的应用．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，以及基本不等式的应用，综合性较强，注意基本不等式成立的三个条件．