Question

认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+

Answer 1

解题思路：（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；

（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和，即可求得答案；

（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）ⁿ（n取正整数）的展开式的各项系数之和．

（1）∵当n=1时，多项式（a+b）¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=[1×0/2]，

当n=2时，多项式（a+b）²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=[2×1/2]，

当n=3时，多项式（a+b）³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=[3×2/2]，

当n=4时，多项式（a+b）⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=[4×3/2]，

…

∴多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：

n(n−1)

2；

（2）预测一下多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和为：2ⁿ；

（3）∵当n=1时，多项式（a+b）¹展开式的各项系数之和为：1+1=2=2¹，

当n=2时，多项式（a+b）²展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2²，

当n=3时，多项式（a+b）³展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2³，

当n=4时，多项式（a+b）⁴展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2⁴，

…

∴多项式（a+b）ⁿ展开式的各项系数之和：S=2ⁿ．

点评：

本题考点： 完全平方公式．

考点点评： 此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．