Question

数学立体几何1.△ABC中,AB=2,BC=1,角ABC=120°,平面外一点P满足PA=PB=PC=2,则三棱锥P-A

Answer 1

1.

设P在底面ABC的投影为Q.

对直角三角形PAQ,PBQ,PCQ,因为PA=PB=PC,所以直角三角形全等.

从而AQ=BQ=CQ,即Q为△ABC的外心,AQ=BQ=CQ=R(外接圆半径).

余弦定理,AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos(角ABC),得AC=sqrt(7).

正弦定理,2R=AC/sin(角ABC),得R=sqrt(7/3).

直角三角形PAQ中,PA^2=AQ^2+PQ^2,得PQ=sqrt(5/3).

故三棱锥P-ABC的体积V=S(△ABC)*PQ/3=AB*BCsin(角ABC)*PQ/6=sqrt(5)/6.

2.

设底面正方形边长为a,则正四棱柱体积V=h*a^2,即16=4a^2得a=2.

连接正四棱柱的最大对角线,就是球直径.由草图易知,

(2R)^2=h^2+(sqrt(2)a)^2,得球半径R=sqrt(6).

故球的表面积S=4πR^2=24π.