已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为____

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  • 解题思路:由椭圆的定义可知,MA+MB=10+|MB|-|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时,在第一象限交点时有|MB|-|MF|=-|BF|,在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时,|MA|+|MB|有最小值,当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值,由两点间的距离公式能够求出MA+MB的最值.

    A为椭圆右焦点,设左焦点为F(-4,0),B在椭圆内,

    则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10,

    于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|.

    当M不在直线BF与椭圆交点上时,M、F、B三点构成三角形,

    于是|MB|-|MF|<|BF|,

    而当M在直线BF与椭圆交点上时,

    在第一象限交点时,有|MB|-|MF|=-|BF|,

    在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|.

    显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时,|MA|+|MB|有最小值,其最小值为

    |MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10-|BF|=10-

    (2+4)2+(2−0)2=10-2

    10;

    当M在直线BF与椭圆第三象限交点时,|MA|+|MB|有最大值,其最大值为

    |MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+

    (2+4)2+(2−0)2=10+2

    10.

    故答案为:10+2

    10,10-2

    10.

    点评:

    本题考点: 椭圆的简单性质.

    考点点评: 本题考查椭圆的定义及最值的求法,注意转化思想,以及三点共线求最值的方法,解题时要熟练掌握定义法的运用.