Question

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 3 =5，S 15 =225．数列{b n }是等比数列，b 3 =

Answer 1

（I）公差为d，

则

a 1 +2d=5

15a 1 +15×7d=225 ，

∴

a 1 =1

d=2 故a _n=2n-1（n=1，2，3，…）．

设等比数列b _n的公比为q，则

b 3 =8

b 3

q • b 3 q 2 =128 ，∴b ₃=8，q=2

∴b _n=b ₃•q ^n-3=2 ⁿ（n=1，2，3，…）．

（II）∵c _n=（2n-1）•2 ⁿ∵T _n=2+3•2 ²+5•2 ³+…+（2n-1）•2 ⁿ

2T _n=2 ²+3•2 ³+5•2 ⁴+…+（2n-3）•2 ⁿ+（2n-1）•2 ⁿ⁺¹

作差：-T _n=2+2 ³+2 ⁴+2 ⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹

= 2+

2 3 (1- 2 n-1 )

1-2 -(2n-1)• 2 n+1

=2+2 ³（2 ^n-1-1）-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹=2+2 ⁿ⁺²-8-2 ⁿ⁺²n+2 ⁿ⁺¹=-6-2 ⁿ⁺¹（2n-3）

∴T _N=（2n-3）•2 ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．