Question

证明:对任意两个随机事件A,B,有P(AB)P(A∪B)≤P(A)P(B) 请写出详细步骤

Answer 1

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

不妨设 P(A)≤P(B)

P(AB)P(A∪B)=P(AB)[P(A)+P(B)-P(AB)]

=-[P(AB)]²+P(AB)[P(A)+P(B)]

这是关于P(AB)的二次函数，

其对称轴为

x=[P(A)+P(B)]/2

显然， P(AB)≤P(A)≤P(B)

∴ P(AB)≤[P(A)+P(B)]/2

∴ P(AB)P(A∪B)随着 P(AB) 的增大而增大，

【根据二次函数的图像与性质】

所以，当 P(AB)=P(A)时，

P(AB)P(A∪B)取得最大值，

此时 P(AB)=P(A)

P(A∪B)=P(B)

∴ P(AB)P(A∪B)≤P(A)P(B)