Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）设BD交AC于O，连PO，由三角形性中位线定理，我们可得PO∥BD₁，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BD₁∥平面PAC；

（2）连A₁C₁交B₁D₁于O₁点，连BO₁，由线面垂直的判定定理，可得A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，即∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角，解三角形A₁BO₁即可得到答案．

证明：（1）设BD交AC于O，连PO，

∵P为DD₁的中点，O为DB的中点

∴PO∥BD₁
又PO⊂面PAC，BD₁⊈面PAC

∴BD₁∥平面PAC

（2）连A₁C₁交B₁D₁于O₁点，连BO₁，

则A₁C₁⊥B₁D₁，

又A₁C₁⊥BB₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，

∴A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，

即∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角

∵A₁O₁=

2

2，A₁B=

5

∴sin∠∠A₁BO₁=

10

10（12分）

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是判断出PO∥BD1，（2）的关键是判定出∠A1BO1即为直线A1B与平面BDD1B1所成角．