Question

（2013•东城区模拟）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+[1/2

Answer 1

解题思路：（1）设a_n的公差为d，根据等差数列通项公式根据a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，进而可求得数列{a_n}的通项公式；

（2）先看当n≥2时根据T_n-T_n-1=b_n，可得b_n与b_n-1的关系式整理的

b

n

＝

1

3

b

n−1

，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．

（3）由（2）可求得数列{b_n}的通项公式，进而可得{c_n}的通项公式．数列{c_n}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．

（1）设a_n的公差为d，则：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，

∵a₂=6，a₅=18，∴

a1+d＝6

a1+4d＝18，∴a₁=2，d=4．

∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．

（2）当n=1时，b₁=T₁，由T1+

1

2b1＝1，得b1＝

2

3．

当n≥2时，∵Tn＝1−

1

2bn，Tn−1＝1−

1

2bn−1，

∴Tn−Tn−1＝

1

2(bn−1−bn)，即bn＝

1

2(bn−1−bn)

∴bn＝

1

3bn−1．

b_n是以[2/3]为首项，[1/3]为公比的等比数列．

（3）由（2）可知：bn＝

2

3•(

1

3)n−1＝2•(

1

3)n．

∴cn＝an•bn＝(4n−2)•2•(

1

3) n=(8n−4)•(

1

3)n

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．