设A(x1,y1),B(x2,y2)
将y=kx+1带入 x²+y²/4=1中,
即4x²+(kx+1)²=4
即 (k²+4)x²+2kx-3=0
利用韦达定理
∴x1+x2= -2k/(k²+4)； x1*x2=-3/(k²+4) (***)
∵ A、B在直线y=kx+1上,
∴ y1=kx1+1,y2=kx2+1
要 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0
∴ x1x2+(kx1+1)*(kx2+1)=0
即 (1+k²)x1x2+k(x1+x2)+1=0
代入 (***) 消去分母
得到 (1+k²)*(-3)-2k²+k²+4=0
∴ 4k²=1
∴ k=±1/2
此时|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=16(k²+3)/(k²+4)²
∴ |AB|=√(1+k²)*|x1-x2|
=4√(k²+3)*√(1+k²)/(k²+4)
=4*√[(13/4)*(5/4)]/(17/4)
=4√65/17