.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1与长轴垂直的直线与椭圆交于A和B,若△ABF2是正三角形, 求椭圆离心率.

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  • 修改:椭圆中心在原点,向量F2P·向量F2Q=-4,否则,你给定的条件只能确定椭圆的形状,不能确定椭圆的位置,所以求不出椭圆的方程.

    △ABF2的周长为2a+2a=4a,所以边长为4a/3,

    焦距2c=(4a/3)cos30°=2a/√3,

    离心率e=c/a=1/√3=(√3)/3.

    且得b²=a²-c²=a²-(a/√3)²=2a²/3

    l的斜率为tan45°=1,

    方程为y-0=1*(x+a/√3),

    即y=x+a/√3……①,

    亦即x=y-a/√3……②

    椭圆方程为x²/a²+y²/(2a²/3)=1,

    即2x²+3y²-2a²=0……③

    ①代入③得:5x²+2ax√3-a²=0

    由韦达定理:x1x2=-a²/5

    ②代入③得:5y²+4ay/√3-4a²/3=0

    由韦达定理:y1y2=-4a²/15

    向量F2.P 乘以向量F2 Q=-4,

    即x1x2+y1y2=4

    亦即-a²/5-4a²/15=-4

    解得a²=60/7,

    代入③得,

    椭圆方程为:14x²+21y²-120=0