设函数f(x)=−13x3+ax2−2ax−2(a为常数),且f(x)在[1,2]上单调递减.

1个回答

  • 解题思路:(1)先求函数

    f(x)=−

    1

    3

    x

    3

    +a

    x

    2

    −2ax−2

    的导函数f'(x),再将“f(x)在[1,2]上单调递减”等价转化为f'(x)≤0在[1,2]恒成立问题,最后将恒成立问题转化为求函数最值问题,即可得实数a的取值范围

    (2)由(1)得a=2,先将“方程f(x)=x2-7x-m有3个不同的根”,转化为

    x

    3

    3

    x

    2

    −3x+2−m=0

    有3个不同根,再转化为函数

    g(x)=

    x

    3

    3

    x

    2

    −3x+2−m

    有三个零点问题,然后利用导数研究函数g(x)的单调性和极值,利用函数性质列关于m的不等式,即可解得m的范围

    (1)依题意得:f'(x)=-x2+2ax-2a∵f(x)在[1,2]上单调递减

    ∴f'(x)=-x2+2ax-2a≤0在[1,2]恒成立

    即:当x=1时,a∈R当x≠1时,2a≤

    x2

    x−1在(1,2]恒成立

    记g(x)=

    x2

    x−1=x−1+

    1

    x−1+2则gmin(x)=4

    ∴只须a≤2

    综上,a≤2

    (2)当a=2时,方程f(x)=x2-7x-m有3个不同根等价于

    x3

    3−x2−3x+2−m=0有3个不同根

    记g(x)=

    x3

    3−x2−3x+2−m则g'(x)=x2-2x-3

    令g'(x)>0得x<-1或x>3令g'(x)<0得-1<x<3

    ∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)递增,在(-1,3)递减

    ∴g极小(x)=g(3)=-7-mg极大(x)=g(−1)=

    11

    3−m

    要使

    x3

    3−x2−3x+2−m=0有3个不同根

    只须

    g极小(x)=g(3)=−7−m<0

    g极大(x)=g(−1)=

    11

    3−m>0

    得−7<m<

    11

    3

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 本题综合考察了导数在函数单调性中的应用,导数在函数零点存在性和零点个数中的应用,不等式恒成立问题的解决方法