解题思路:(1)先求函数
f(x)=−
1
3
x
3
+a
x
2
−2ax−2
的导函数f'(x),再将“f(x)在[1,2]上单调递减”等价转化为f'(x)≤0在[1,2]恒成立问题,最后将恒成立问题转化为求函数最值问题,即可得实数a的取值范围
(2)由(1)得a=2,先将“方程f(x)=x2-7x-m有3个不同的根”,转化为
x
3
3
−
x
2
−3x+2−m=0
有3个不同根,再转化为函数
g(x)=
x
3
3
−
x
2
−3x+2−m
有三个零点问题,然后利用导数研究函数g(x)的单调性和极值,利用函数性质列关于m的不等式,即可解得m的范围
(1)依题意得:f'(x)=-x2+2ax-2a∵f(x)在[1,2]上单调递减
∴f'(x)=-x2+2ax-2a≤0在[1,2]恒成立
即:当x=1时,a∈R当x≠1时,2a≤
x2
x−1在(1,2]恒成立
记g(x)=
x2
x−1=x−1+
1
x−1+2则gmin(x)=4
∴只须a≤2
综上,a≤2
(2)当a=2时,方程f(x)=x2-7x-m有3个不同根等价于
x3
3−x2−3x+2−m=0有3个不同根
记g(x)=
x3
3−x2−3x+2−m则g'(x)=x2-2x-3
令g'(x)>0得x<-1或x>3令g'(x)<0得-1<x<3
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)递增,在(-1,3)递减
∴g极小(x)=g(3)=-7-mg极大(x)=g(−1)=
11
3−m
要使
x3
3−x2−3x+2−m=0有3个不同根
只须
g极小(x)=g(3)=−7−m<0
g极大(x)=g(−1)=
11
3−m>0
得−7<m<
11
3
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题综合考察了导数在函数单调性中的应用,导数在函数零点存在性和零点个数中的应用,不等式恒成立问题的解决方法