操作:如图1,在正方形ABCD中,∠EAF=45°根据要求画出图形并解答:

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  • 解题思路:(1)画图如图所示.就是△ADF旋转到△ABF的位置;

    (2)全等的三角形有:①△ADF≌△ABF',②△AEF≌△AEF'.其中△ADF≌△ABF'由旋转直接可以得到;由△ADF≌△ABF'可以知道:AF=AF'∠BAF'=∠DAF,根据正方形的性质可以得到AB=CD,∠BAD=90°,而∠EAF=45°,所以可以得到∠F'AE=∠EAF,即可以证明△AEF'≌△AEF;

    探究(1)延长EB至F',使BF'=DF,连接AF',EF.根据操作可以知道△AEF'≌△AEF,由此推出EF=EF',所以△AEF的面积就是△AEF'的面积,而它的面积可以求出,也就求出了△AEF的面积;

    (2)过点A作AM⊥EF,垂足为M,由(1)推出AB=AM,即可以证明Rt△ABE≌Rt△AME,再根据全等三角形的性质可以得到BE=EM,令BE=EM=x,然后用x分别表示BF′=FM=5-x=DF,CF=1+x,EC=BC-BE=6-x,然后在Rt△EFC中根据勾股定理得到EF2=EC2+FC2,由此建立关于x的方程,解方程求出x,也就可以求出旋转角∠BAE的正切值.

    操作:(1)画图如图所示.(1分)

    (2)全等的三角形有:①△ADF≌△ABF′,②△AEF≌△AEF′.(2分

    证明:①∵△ADF绕顶点A逆时针旋转90°得△ABF',

    ∴△ADF≌△ABF'.(3分)

    ②在正方形ABCD中,

    AB=CD,∠BAD=90°.

    又∵∠EAF=45°,

    ∴∠BAE+∠DAF=45°.

    又∵△ADF≌△ABF′,

    ∴AF=AF′∠BAF′=∠DAF,

    ∴∠BAF′+∠BAE=45°,

    即∠F'AE=45°,

    ∴∠F′AE=∠EAF.

    在△AEF′与△AEF中,

    AF'=AF,∠F'AE=∠EAF,AE=AE,

    ∴△AEF′≌△AEF.(6分)

    (2)探究:①延长EB至F′,使BF'=DF,连接AF′,EF.

    由操作知:△AEF′≌△AEF,

    ∴EF=EF′,(8分)

    则S△AEF′=

    1

    2EF×AB=

    1

    2×5×6=15.(9分

    ②过点A作AM⊥EF,垂足为M.

    ∵△AEF'≌△AEF,

    ∴AB=AM.

    在Rt△ABE与Rt△AME中

    AB=AM

    AE=AE,

    ∴Rt△ABE≌Rt△AME,(10分)

    ∴BE=EM.

    令BE=EM=x,

    ∴BF′=FM=5-x,

    又∵BF′=DF,

    ∴DF=5-x,

    ∴FC=6-(5-x)=1+x.

    EC=BC-BE=6-x,

    在Rt△EFC中EF2=EC2+FC2

    ∴25=(6-x)2+(1+x)2

    ∴x1=2,x2=3,

    即BE=2或BE=3.

    又∵AB=6,

    ∴tan∠BAE=

    1

    3或tan∠BAE=

    1

    2.(12分)

    点评:

    本题考点: 旋转的性质;全等三角形的判定;勾股定理;正方形的性质;解直角三角形.

    考点点评: 此题主要考查正方形的性质,利用正方形的性质来探究图形的变换规律.