解题思路:(1)画图如图所示.就是△ADF旋转到△ABF的位置;
(2)全等的三角形有:①△ADF≌△ABF',②△AEF≌△AEF'.其中△ADF≌△ABF'由旋转直接可以得到;由△ADF≌△ABF'可以知道:AF=AF'∠BAF'=∠DAF,根据正方形的性质可以得到AB=CD,∠BAD=90°,而∠EAF=45°,所以可以得到∠F'AE=∠EAF,即可以证明△AEF'≌△AEF;
探究(1)延长EB至F',使BF'=DF,连接AF',EF.根据操作可以知道△AEF'≌△AEF,由此推出EF=EF',所以△AEF的面积就是△AEF'的面积,而它的面积可以求出,也就求出了△AEF的面积;
(2)过点A作AM⊥EF,垂足为M,由(1)推出AB=AM,即可以证明Rt△ABE≌Rt△AME,再根据全等三角形的性质可以得到BE=EM,令BE=EM=x,然后用x分别表示BF′=FM=5-x=DF,CF=1+x,EC=BC-BE=6-x,然后在Rt△EFC中根据勾股定理得到EF2=EC2+FC2,由此建立关于x的方程,解方程求出x,也就可以求出旋转角∠BAE的正切值.
操作:(1)画图如图所示.(1分)
(2)全等的三角形有:①△ADF≌△ABF′,②△AEF≌△AEF′.(2分
证明:①∵△ADF绕顶点A逆时针旋转90°得△ABF',
∴△ADF≌△ABF'.(3分)
②在正方形ABCD中,
AB=CD,∠BAD=90°.
又∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
又∵△ADF≌△ABF′,
∴AF=AF′∠BAF′=∠DAF,
∴∠BAF′+∠BAE=45°,
即∠F'AE=45°,
∴∠F′AE=∠EAF.
在△AEF′与△AEF中,
AF'=AF,∠F'AE=∠EAF,AE=AE,
∴△AEF′≌△AEF.(6分)
(2)探究:①延长EB至F′,使BF'=DF,连接AF′,EF.
由操作知:△AEF′≌△AEF,
∴EF=EF′,(8分)
则S△AEF′=
1
2EF×AB=
1
2×5×6=15.(9分
②过点A作AM⊥EF,垂足为M.
∵△AEF'≌△AEF,
∴AB=AM.
在Rt△ABE与Rt△AME中
AB=AM
AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AME,(10分)
∴BE=EM.
令BE=EM=x,
∴BF′=FM=5-x,
又∵BF′=DF,
∴DF=5-x,
∴FC=6-(5-x)=1+x.
EC=BC-BE=6-x,
在Rt△EFC中EF2=EC2+FC2,
∴25=(6-x)2+(1+x)2,
∴x1=2,x2=3,
即BE=2或BE=3.
又∵AB=6,
∴tan∠BAE=
1
3或tan∠BAE=
1
2.(12分)
点评:
本题考点: 旋转的性质;全等三角形的判定;勾股定理;正方形的性质;解直角三角形.
考点点评: 此题主要考查正方形的性质,利用正方形的性质来探究图形的变换规律.