Question

如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1， AC 是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点

Answer 1

（1）证明：∵∠DEF=45°，

∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．

∴∠DFE=∠DEF．

∴DE=DF．

又∵AD=DC，

∴AE=FC．

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，

∴AD切圆B于点A．

同理：CD切圆B于点C．

又∵EF切圆B于点G，

∴AE=EG，FC=FG．

∴EG=FG，即G为线段EF的中点．

（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，

根据勾股定理，得：

（x+y） ²=（1-x） ²+（1-y） ²

∴y=

1-x

1+x （0＜x＜1）．

（3）当EF=

5

6 时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，

即x+

1-x

1+x =

5

6 ，

解得x ₁=

1

3 ，x ₂=

1

2 ．

经检验x ₁=

1

3 ，x ₂=

1

2 是原方程的解．

①当AE=

1

2 时，△AD ₁D ∽ △ED ₁F，

证明：设直线EF交线段DD ₁于点H，由题意，得：

△EDF≌△ED ₁F，EF⊥DD ₁且DH=D ₁H．

∵AE=

1

2 ，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH ∥ AD ₁，∠AD ₁D=∠EHD=90°．

又∵∠ED ₁F=∠EDF=90°，

∴∠FD ₁D=∠AD ₁D．

∴D ₁F ∥ AD，

∴∠ADD ₁=∠DD ₁F=∠EFD=45°，

∴△ED ₁F ∽ △AD ₁D．

②当AE=

1

3 时，△ED ₁F与△AD ₁D不相似．