三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.
锐角三角函数
在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角.则定义以下运算方式： sin ∠A=∠A的对边长/斜边长,sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长,cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切； 当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”. sinA=cosB sinB=cosA
常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y). 在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法： 基本函数 英文 表达式 语言描述
正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边
余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边
正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边
余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边
正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边
余割函数 Cosecant csc θ=r/y 角θ的斜边比对边
在初高中教学中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数. 注：tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法. sinπ/3
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋于淘汰： 函数名 与常见函数转化关系
正矢函数 versinθ=1-cosθ
余矢函数 coversθ=1-sinθ
半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2;
半余矢函数 hacoversθ=(1-sinθ)/2;
外正割函数 exsecθ=secθ-1
外余割函数 excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理, 三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ.图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式. 对于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k. 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示. 其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速.正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线.这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷. 另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义.特别 三角函数
是,对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC（半弦）,这是印度的阿耶波多介入的定义.cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CD.tanθ 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切.cotθ 是另一个切线段 AF. secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影.DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散.
三角函数线
依据单位圆定义, 我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值. 如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l. 那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值.OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值.向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的. 借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负. 1、锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数. 正弦（sin）等于对边比斜边； 余弦（cos）等于邻边比斜边； 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边； 正割（sec)等于斜边比邻边； 余割 (csc)等于斜边比对边. 2、互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系 ·平方关系： sin^2(A)+cos^2(A)=1 ·积的关系： sinA=tanA·cosA cosA=cotA·sinA cotA=cosA·cscA tanA·cotA=1 ·倒数关系： 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4、三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表. （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时, 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时, 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0, 当角度在0°0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinA 1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosA 0 √3/3 1 √3 None ← tanA None √3 1 √3/3 0 ← cotA “锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.
特殊角的三角函数
在三角函数中,有一些特殊角,例如30°、45°、60°,这些角的三角函数值为简单单项式,计算中可以直接求出具体的值. 这些函数的值参见右图： 三角函数的特殊值
同角三角函数关系式
平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=1- 2sin^2(α)=2cos^2(α)-1
sin(2α)=2sin(α)cos(α)
tan^(α)+1=1/cos^(α)
2sin^(α)=1-cos(2α)
cot^(α)+1=1/sin^(α)
积的关系 sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
倒数关系 tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
三角函数
直角三角 三角函数
形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·对称性 180度-α的终边和α的终边关于y轴对称. -α的终边和α的终边关于x轴对称. 180度+α的终边和α的终边关于原点对称. 90度-α的终边和α的终边关于y=x对称.
诱导公式
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数 sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
公式二：
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系 sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
sinα cosα tanα cotα secα cscα
2kπ+α sinα cosα tanα cotα secα cscα
(1/2)kπ-α cosα sinα cotα tanα cscα secα
(1/2)kπ+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα
kπ-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα
kπ+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα
(3/2)kπ-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα
(3/2)kπ+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα
2kπ-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
﹣α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
定名法则 90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数.90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同.也就是“奇余偶同,奇变偶不变” 定号法则 将α看做锐角（注意是“看做”）,按所得的角的象限,取三角函数的符号.也就是“象限定号,符号看象限”.（或为“奇变偶不变,符号看象限” 2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变,若为偶数时函数名变为相反的函数名.正负号看原函数中α所在象限的正负号.关于正负号有可口诀；一全正二正弦,三正切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切、余切为正,第四象限余弦为正.） 比如:90°+α.定名：90°是90°的奇数倍,所以应取余函数；定号：将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负.所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇,屡试不爽~ 还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如：sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,所以sin(90°+α)=cosα
三角函数对称轴与对称中心
y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ,0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2,0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无 对称中心：（kπ,0）(k∈z)
两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2;α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;α tan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α) cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α) csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4sin^3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)
n倍角公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…
半角公式
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)sin(α+arctan(B/A)) Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)cos(α-arctan(A/B))
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))
降幂公式
sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角和的三角函数
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t
角的三角函数值
正弦 余弦 正切 余切
0 0 1 0 不存在
π/6 1/2 √3/2 √3/3 √3
π/4 √2/2 √2/2 1 1
π/3 √3/2 1/2 √3 √3/3
π/2 1 0 不存在 0