Question

如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,过B作⊙O的切线,与CA延长线交于点D,E是BD中点,延长AE与CB的延长线交于F,

Answer 1

连接AB,OA

DB切圆O于点B,BC为直径

∴DB⊥FC于B

∴∠FBE=∠DBC=90°

而∠BAC为直径BC所对的圆周角

∴∠BAC=90°

∴∠DAB=180°-90°=90°

∴△DAB是直角三角形

而在Rt△DAB中,E是斜边BD的中点

∴AE=BE=BD/2

△ABE是等腰三角形

两底角∠EAB=∠DBA

而∠DBA为圆O切线DB与弦AB所成的弦切角,∠C是弦AB所对的圆周角

故∠DBA=∠C

∴∠EAB=∠C

OA,OC均为圆O半径,有OA=OC

于是,在等腰△AOC中,∠OAC=∠C

∴∠EAB=∠OAC

∴∠FAO=∠EAB+∠BAO=∠OAC+∠BAO=∠BAC=90°

令圆半径为r,

在Rt△AFO中,∠FAO=90°

∴sin∠F=OA/OF=r/(r+6) ①

而在Rt△FBE中,∠FBE=90°

∴sin∠F=BE/EF=3/EF ②

再由勾股定理有：

EF^2=BE^2+BF^2

而BE=3,BF=6

则EF=3根号5

代入②得sin∠F=1/根号5

代入①解得r=6/(根号5-1)

则BC=2r=3(根号5+1)

BD=2*BE=2*3=6

在Rt△DBC中：∠DBC=90°

由勾股定理可得：

CD^2=BD^2+BC^2

代入BC=3(根号5+1),BD=6,可求出：

CD=3根号(10+2根号5)