Question

已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，则常数p=（　　）

Answer 1

解题思路：利用等比中项的性质可推断出（cn+1-pcn）2=（cn+2-pcn+1）（cn-pcn-1），整理后求得p的值．

∵{c_n+1-pc_n}是等比数列，

∴（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），

将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，可得

[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ+3ⁿ）]²

=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ-p（2^n-1+3^n-1）]，

即[（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ]²

=[（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹][（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1]，

整理得[1/6]（2-p）（3-p）•2ⁿ•3ⁿ=0，

解得p=2或p=3．

故选A

点评：

本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的应用，属中档题．