设圆心为（x，3x），
那么圆的半径为3x，
圆心到直线x-y=0距离为：
|x-3x|/√(1^2+1^2)
=2x/√2
=√2 x
圆心、圆心到直线的垂足、弦的一个端点，
构成直角三角形的3个顶点，
所以
（√2 x）^2+(2√7)^2=(3x)^2
化简整理得
7x^2=28
x^2=4
因为在第一象限，
∴x=2
圆的方程为：
（x-2）^2+（y-6）^2=36
m=√(3x+y)，m≥0
两边平方得
3x+y=m^2，即y=-3x+m^2，
那么m为一组平行3x+y=0且与圆C相交或相切的直线在Y轴上截距的平方根。
那么圆心（2，6）到直线的距离小于等于半径6，即
|6+6-m^2|/√(3^2+1^2)≤6
|12-m^2|≤6√10
当12-m^2≥0，即m^2≤12，0≤m≤2√3时，
12-m^2≤6√10，即m^2≥12-6√10，因为12＜6√10
所以
0≤m≤2√3
当12-m^2≤0，即m^2≥12，m≥2√3时，
m^2-12≤6√10，即m^2≤12+6√10，m≤√（12+6√10）
所以
2√3≤m≤√（12+6√10）
综上所述m的取值范围为：
0≤m≤√（12+6√10）
参考附图
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