解题思路：（1）由α的范围，得到sinα大于0，再由二倍角的正弦函数公式化简等式sin2α=[1/3]的左边，根据sinα大于0，得到cosα大于0，可得出α的具体范围，然后将x=α代入函数f（x）解析式中得到f（α）=sinα+cosα，利用诱导公式化简，并根据2sinα•cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα+cosα的值，即为f（α）的值；
（2）利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简f（x）解析式，得到一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-[π/2]，2kπ+[π/2]]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为f（x）的单调递增区间．
（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0，
∴f（α）=sinα+cosα，…（1分）
又sin2α=[1/3]=2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，[π/2]），sinα+cosα＞0，…（3分）
由（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα=[4/3]，…（5分）
∴sinα+cosα=
2
3
3，
∴f （α）=
2
3
3；…（7分）
（2）由（1）知f （x）=
2sin（x+[π/4]），
当2kπ-[π/2]≤x+[π/4]≤2kπ+[π/2]（k∈Z）时，f（x）是单调递增，…（9分）
∴2kπ-[3π/4]≤x≤2kπ+[π/4]（k∈Z），又0≤x≤π，…（11分）
∴f（x）的单调递增区间为[0，[π/4]]．…（12分）
点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；复合三角函数的单调性．
考点点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．