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创造使用条件确定二次函数的表达式
(重庆) 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x))- x^2 +x)=f(x)- x^2 +x..
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0¬)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
思维展示
（Ⅰ） 认识对应法则和符合函数的意义,目标意识创造使用条件,特殊赋值切入,
因为对任意xεR,有f(f(x)- x^2 + x)=f(x)- x^2 +x,所以f(f(2)- 2^2+2)=f(2)- 2^2+2.
又由f(2)=3,得f(3-2^2+2)=3-2^2+2,即f(1)=1.；
赋值,若f(0)=a,则f(a-0^2+0)=a-0^2+0,即f(a)=a.
（Ⅱ）认识对应法则的唯一性切入,
因为对任意xεR,有f(f(x))- x^2 +x)=f(x)- x^2 +x.
由题设有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.,所以对任意xεR,有f(x)- x^2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)= x0,所以x0- x =0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)- x2 +x=0,即f(x)= x2 –x.但方程x2 –x=x有两上不同实根,与题设条件矛盾,故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1,即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1（x R）.
【学习体验】
如何创造使用对应法则?
认识对应法则f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.即f(x0)= x0 的意义,选用目标意识特殊赋值和反证法确定,其中整体变量的观念起着决定性的作用.