Question

已知函数f（x）=lnx+ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=lnx+ax+1，得f′(x)＝

1/x+a．

∴f′（1）=1+a．

又f（1）=a+1，

∴f（x）在x=1处的切线方程为y-a-1=（1+a）（x-1），

即y=（1+a）x；

（Ⅱ）函数f（x）=lnx+ax+1的定义域为{x|x＞0}，

由不等式f（x）≤0恒成立，得

lnx+ax+1＜0恒成立，即a＜

?lnx?1

x]（x＞0）恒成立．

令g（x）=[?lnx?1/x]，

则g′(x)＝

?1+lnx+1

x2＝

lnx

x2，

当0＜x＜1时，g′（x）0，g（x）为增函数．

∴g（x）_min=g（1）=0．

∴使不等式f（x）≤0恒成立的a的取值范围是（-∞，0）；

（Ⅲ）证明：∵a₁=2，2a_n+1=a_n+1，

∴2（a_n+1-1）=a_n-1，

则数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，以[1/2]为公比的等比数列，

∴an?1＝(

1

2)n?1，即an＝1+(

1

2)n?1．

下面证明当0＜x≤1时，x-ln（1+x）＞0，

设y=x-ln（1+x），则y′＝1?

1

1+x，

∵对于任意x∈（0，1]均有y′＜0，

∴y=x-ln（1+x）在（0，1]上单调递减，

∵当x=1时y=x-ln（1+x）=1-ln2＞0，

∴当0＜x≤1时，x-ln（1+x）＞0．

记Cn＝n?(

1

2)n?1，Sn＝

n

i＝1Ci，

显然有bn＝n?ln[1+(

1

2)n?1]＜n?(

1

2)n?1=C_n．

∴Tn＝

n

i＝1bi＜

n

i＝1Ci＝Sn，

∵Sn＝

n

i＝1Ci＝

n

i＝1i(

1

2)