已知A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PA+PB长度最小,则最小值为 ___ ;若PA-PB长度最大,则最大

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  • 解题思路:(1)找到B点关于x轴的对称点B′,连接AB′交x轴于点P,即可得到要求的P点,再根据一次函数的性质,找到各点的坐标,即可得出答案.

    (2)根据三角形的性质,两边之差小于第三边,连接AB交x轴于点P,即可得到要求的P点,则可知AB的长度即为所求.

    (1)求最小值:如图所示:

    作B点关于x轴的对称点B',连接AB′,交x轴于点P,

    ∵B和B′对称,

    ∴PB=PB′,

    ∴AP+BP=PA+B′P,

    根据两点之间线段最短可知P点为所求.

    ∵已知A(-2,3),B(3,1),

    ∴B′坐标为(3,-1),

    则可求得最短距离为AB′的长度,AB′=

    (3+2)2+(1+3)2=

    41,

    ∴PA+PB长度最小,则最小值为

    41.

    (2)求最大值:如图所示:

    连接AB并延长,交x轴于点P,

    任取一点P',连接AP'、BP',

    在△ABP'中,根据三角形的性质,两边之差小于第三边,

    即AP'-BP'<AB,

    ∴可知AB为所求的最大值,

    ∵已知A(-2,3),B(3,1),

    AB=

    (3+2)2+(3-1)2=

    29,

    ∴若PA-PB长度最大,则最大值为

    29.

    点评:

    本题考点: 一次函数综合题;轴对称-最短路线问题.

    考点点评: 本题属于综合性的试题,包含了一次函数的应用、对称图形的性质、三角形的性质以及最大值最小值的求法.解决这类题目要求对于所学的各种知识点要能够融会贯通,达到“信手拈来”的地步.