Question

如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1．

Answer 1

解题思路：（1）先证明四边形AOED是平行四边形，即可得到 DE∥OA，从而证得DE∥面ABC．

（2）由CA⊥AB，且AA₁⊥CA，可得CA⊥面AA₁B₁B，即CA为四棱锥的高，设圆柱高为h，底半径为r，则V_柱=πr²h，求出椎体的体积，即可得到四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

（3）先证 A₁O₁⊥面CBB₁C₁，则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成的角，在Rt△A₁O₁C中，由

sin∠

A

1

C

O

1

＝

A

1

O

1

A

1

C

求得CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别为B₁C，BC的中点，∴EO∥BB₁．

又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2BB1．∴四边形AOED是平行四边形，

即DE∥OA，DE⊄面ABC．∴DE∥面ABC．

（2）由题DE⊥面CBB₁，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB₁，∴AO⊥BC，

∴AC=AB．因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，

∴CA⊥面AA₁B₁B，即CA为四棱锥的高．

设圆柱高为h，底半径为r，则V_柱=πr²h，V锥=

1

3h(

2r)•(

2r)=

2

3hr2，

∴V_锥：V_柱 =[2/3π]．

（3） 作过C的母线CC₁，连接B₁C₁，则B₁C₁是上底面圆O₁的直径，

连接A₁O₁，得A₁O₁∥AO，又AO⊥面CBB₁C₁，

∴A₁O₁⊥面CBB₁C₁，连接CO₁，

则∠A₁CO₁为CA₁与面BB₁C所成的角，

设BB₁=BC=2，则A1C=

22+(

2)2=

6，

A₁O₁=1．（12分）

在Rt△A₁O₁C中，sin∠A1CO1=

A1O1

A1C=

6

6．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．

考点点评： 本题考查证明线面平行的方法，求棱锥的体积和直线与平面成的角，找出∠A1CO1为CA1与面BB1C所成的角，是解题的难点．