Question

已知{a n }是首项为a 1 ，公比q为正数的等比数列，其前n项和为S n ，且有5S 2 =4S 4 ，设b n =

Answer 1

由题意知

（1）∵q≠1，

∴S ₂=

a 1 (1- q 2 )

1-q ，S ₄=

a 1 (1- q 4 )

1-q ，

∴5（1-q ²）=4（1-q ⁴）．

∵q＞0，

∴q=

1

2 ．

（2）∵S _n=

a 1 (1- q n )

1-q =2a ₁-2a ₁（

1

2 ） ⁿ，

∴b _n=q+q ⁿ+S _n=2a ₁+

1

2 +（1-2a ₁）（

1

2 ） ⁿ．

若{b _n}是等比数列，则b ₁=a ₁+1，b ₂=

3

2 a ₁+

3

4 ，b ₃=

7

4 a ₁+

5

8 ，

由b ₂ ²=b ₁b ₂，解得8a ₁ ²-2a ₁-1=0，所以a ₁=-

1

4 ，或a ₁=

1

2 ．

①当a ₁=

1

2 时，b _n=

3

2 ，

∴数列{b _n}是等比数列．

②当a ₁=-

1

4 时，b _n=

3

2 （

1

2 ） ⁿ．

∵

b n+

b n =

3

2 (

1

2 ) n+1

3

2 (

1

2 ) n =

1

2 ，

∴数列{b _n}是等比数列．