解题思路:(1)先根据对数定义求出函数的定义域,然后令f′(x)=0求出函数的稳定点,当导函数大于0得到函数的增区间,当导函数小于0得到函数的减区间,即可得到函数的单调区间;
(2)根据(1)知f(x)在区间[-[3/4],[1/4]]的最小值为f(-[1/2])求出得到函数的最小值,又因为f(-[3/4])-f([1/4])<0,得到
f(x)在区间[-[3/4],[1/4]]的最大值为f([1/4])求出得到函数的最大值.
f(x)的定义域为(-[3/2],+∞)
(1)f′(x)=[2/2x+3]+2x=
4x2+6x+2
2x+3
当-[3/2]<x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<-[1/2]时,f′(x)<0;
当x>-[1/2]时,f′(x)>0
从而,f(x)在区间(-[3/2],-1),(-[1/2],+∞)上单调递增,在区间(-1,-[1/2])上单调递减
(2)由(1)知f(x)在区间[-[3/4],[1/4]]的最小值为f(-[1/2])=ln2+[1/4]
又f(-[3/4])-f([1/4])=ln[3/2]+[9/16]-ln[7/2]-[1/16]
=ln[3/7]+[1/2]=[1/2](1-ln[49/9])<0
所以f(x)在区间[-[3/4],[1/4]]的最大值为f([1/4])=[1/16]+ln[7/2].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数单调性的能力,利用导数求函数在闭区间上极值的能力.