Question

附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当 时，都有f（x）= 成立？请给出结论，并加以证明．

Answer 1

存在符合条件的二次函数．

设f（x）=ax ²+bx+c，则当k=1，2，3时有：

f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．

联立①、②、③，解得a=

9

5 ，b=2，c=0．

于是，f（x）=

9

5 x ²+2x．

下面证明二次函数f（x）=

9

5 x ²+2x符合条件．

因为

=5（1+10+100++10 ^k-1）=

5

9 （10 ^k-1），

同理：

=

5

9 （10 ^2k-1）；

=f（

5

9 （10 ^k-1））=

9

5 [

5

9 ( 10 k -1)] 2 +2×

5

9 （10 ^k-1）

=

5

9 （10 ^k-1） ²+2×

5

9 （10 ^k-1）=

5

9 （10 ^k-1）（10 ^k+1）=

5

9 （10 ^2k-1）=

∴所求的二次函数 f（x）=

9

5 x ²+2x符合条件．