椭圆
的离心率为
，且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点，直线
与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
（1）
；（2）详见解析；（3）最小值为
试题分析：（1）依题意有
，再加上
，解此方程组即可得
的值，从而得椭圆
的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用（1）所得椭圆方程，联立方程组
消去
得：
，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
，由于中点重合，所以
，解得：
或
(舍)这说明
和
都过原点即相交于原点
（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标（用
表示），从而得
（用
表示）；同理可得
（由于
，故仍可用
表示）这样就可将
表示为
的函数，从而求得其最小值
试题解析：（1）依题意有
，又因为
，所以得
故椭圆
的方程为
3分
（2）依题意，点
满足
所以
是方程
的两个根
得
所以线段
的中点为
同理，所以线段
的中点为
5分
因为四边形
是平行四边形，所以