Question

设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)》n,

Answer 1

证明：

设A,B为同阶方阵,a1,a2...ar是A的极大线性无关向量组,则：

R(A)=r,同理,设b1,b2,..bs为B的极大线性无关向量组,则：

R(B)=s

而A+B与A和B为同阶方阵,其极大线性无关组不可能大于r+s,即：

R(A)+R(B) ≥R(A+B)

根据上述,可以知道：

R(A+E)+R(A-E) = R(A+E) + R(E-A) ≥ R[(A+E)+(E-A)] = R(2E) = n