Question

设数列{an}满足：an（n∈N*）是整数，且an+1-an是关于x的方程x2+（an+1-2）x-2an+1=0的根．

Answer 1

（1）∵a_n+1-a_n是关于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根

∴（a_n+1-a_n）²+（a_n+1-2）（a_n+1-a_n）-2a_n+1=0

∴（a_n+1-a_n-2）（2a_n+1-a_n）=0

∴a_n+1=a_n+2，或a_n+1=[1/2]a_n，

∵a₁=4且n≥2时，4≤a_n≤8，

∴数列{a_n}为：4，6，8，4，6，8，…，

∴数列{a_n}的前100项和S₁₀₀=33（4+6+8）+4=598；

（2）若a₁=-8且a_n＜a_n+1（n∈N^*）

∵a_n+1=a_n+2，或a_n+1=[1/2]a_n，

∴数列{a_n}的前6项是：-8，-6，-4，-2，0，2或-8，-6，-4，-2，-1，1或：-8，-6，-3，-1，1，3或：-8，-4，-2，0，2，4或-8，-4，-2，-1，1，3

∵a₆=1，∴数列{a_n}的前6项是-8，-6，-4，-2，-1，1，且n＞4时，a_n+1=a_n+2，

∴数列{a_n}的通项公式是an＝

2n−10，n≤4

2n−11，n≥5；