Question

设函数f（x）=mx2-mx-6+m．若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，则实数x的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：把原函数整理成关于m的一次函数，利用一次函数的单调性求得函数在[-2，2]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范围．

函数可整理为f（x）=（x²-x+1）m-6

∵对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，

∴（x²-x+1）m-6＜0恒成立．

令g（m）=（x²-x+1）m-6

则函数g（m）在区间[-2，2]上的最大值小于0，

∵g（m）为一次函数，且一次项系数x2−x+1＝(x−

1

2)2+

3

4＞0

∴函数g（m）在区间[-2，2]上单调递增，

∴[g(m)]max＝g(2)＝2x2−2x−4

∴2x²-2x-4＜0

解得-1＜x＜2

故正确答案为：（-1，2）

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查了利用函数的单调性求函数最大值．在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中，体现了转化的思想．