Question

（2014•蚌埠三模）已知△ABC是锐角三角形，且sin（B-[π/6]）cos（B-[π/3]）=[1/2]．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用两角差的正余弦公式展开，结合同角三角函数基本关系式可求出cosB，然后根据△ABC是锐角三角形，求出B；（Ⅱ）根据内角和定理求出A+C，利用两角和的正切公式求tan（A+C），得到关于tanA，tanC和tanAtanC的关系式，然后利用基本不等式求最值．

（Ⅰ）由sin（B-[π/6]）cos（B-[π/3]）=[1/2]，且B为锐角，

变形得：（sinBcos[π/6]-cosBsin[π/6]）（cosBcos[π/3]+sinBsin[π/3]）

=（

3

2sinB-[1/2]cosB）（[1/2]cosB+

3

2sinB）

=[3/4]sin²B-[1/4]cos²B=[3/4]（1-cos²B）-[1/4]cos²B

=[3/4]-cos²B=[1/2]，

整理得：cos²B=[1/4]，即cosB=[1/2]，

则B=[π/3]；

（Ⅱ）∵B=[π/3]，∴A+C=[2π/3]，

又△ABC是锐角三角形，所以tanA＞0，tanC＞0，

而tan（A+C）=[tanA+tanC/1−tanAtanC]=-

点评：

本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．

考点点评： 本题考查了三角恒等变换及求最值问题，综合性较强．解题的关键是明确变形的方向，选择恰当的公式对式子进行适当的变形，在求最值时可以利用基本不等式，注意等号成立的条件．