Question

（2013•临汾模拟）已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是

Answer 1

解题思路：（1）证明：设F（x）=f（x）-x-1，则F′（x）=e^x-1，得F（x）_min=F（0）=0，从而F（x）≥0，即f（x）≥x+1；

（2）由方程为lnx=x（x²-2ex+m），得[lnx/x]=x²-2ex+m，设h（x）=[lnx/x]，得h（x）≤h（e）=[1/e]；设l（x）=x²-2ex+m，则l（x）≥e²-2e²+m=m-e²，进而得①m＞e²+[1/e]时，原方程无解，

②m=e²+[1/e]时，方程有且只有一个根x=e，③m＜e²+[1/e]时，方程两个根．

（1）证明：设F（x）=f（x）-x-1，则F′（x）=e^x-1，

∵x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0，

x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，

∴F（x）_min=F（0）=0，

∴F（x）≥0，即f（x）≥x+1；

（2）∵g（x）是R上的奇函数，∴a=0，g（x）=x，

∴方程为lnx=x（x²-2ex+m），即[lnx/x]=x²-2ex+m，

设h（x）=[lnx/x]，则由h′（x）=[1−lnx

x2=0，解得：x=e，

又x∈（0，e）时，h′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，

∴h（x）≤h（e）=

1/e]；

设l（x）=x²-2ex+m，则l（x）≥e²-2e²+m=m-e²，

∴①m＞e²+[1/e]时，原方程无解，

②m=e²+[1/e]时，方程有且只有一个根x=e，

③m＜e²+[1/e]时，方程两个根．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查不等式的证明，导数的应用，是一道综合题．