Question

如图正方体中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB 1P的顶点P在棱CC1上运动，有以下四个命题：

Answer 1

解题思路：①由正方体的性质可知：B₁P在底面ABCD的射影为BC，B₁M在底面ABCD的射影为BM，可得△MB₁P在底面ABCD上的射影图形为△BMC；

②当点P取C₁时，△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是一条线段，而不是三角形；

③直线ND₁与B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P；

④由已知可得A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，可得B₁M⊥平面A₁D₁N，即可判断出．

①由正方体的性质可知：B₁P在底面ABCD的射影为BC，B₁M在底面ABCD的射影为BM．

△MB₁P在底面ABCD上的射影图形为△BMC，其面积为定值，正确；

②当点P取C₁时，△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是一条线段，而不是三角形．

③直线ND₁与B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P，不正确．

④∵A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，∴B₁M⊥平面A₁D₁N．

因此平面MB₁P一定垂直平面NA₁D₁．正确．

综上可知：①④正确．

故答案为：①④．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；平行投影及平行投影作图法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题综合考查了空间线面、面面垂直的判定与性质、正方体的性质等基础知识，属于中档题．