法一:
f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x
设x＞0,y＞0,有x+y＞y,(x+2y+1)x＞0
即f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x＞0
则f(x)在(0,+∞)上递增
f(1+0)-f(0)=f(1)-f(0)=(1+1)·1
-f(0)=2
f(0)=-2
f(1/2+1/2)-f(1/2)=f(1)-f(1/2)=(1/2+2·1/2+1)/2
-f(1/2)=5/4
f(1/2)=-5/4
∵x∈(0,1/2),函数单调递增
∴f(x)∈(-2,-5/4)
∴f(x)+2∈(0,3/4)
令g(x)=loga(x)
①当a＞1时
∵x∈(0,1/2)
∴g(x)＜0＜f(x)+2
∴不满足
②当0＜a＜1时
g(x)单调递减
∵在(0,1/2)上,f(x)单调递增,g(x)单调递减
∴只要保证f(1/2)+2≤g(1/2)就可以了
即3/4≤loga(1/2)
∴三次根号(1/16)≤a＜1
法二:
令y=1,
f(x+1)-f(1)=x(x+3),
f(x+1)=x(x+3),
f(x)=(x-1)(x+2)=x²+x-2
f(x)+2=x²+x＜loga(x)
看图像,当a＞1时显然不成立
当0＜a＜1时,x²+x单调递增,loga(x)单调递减,
只需loga(1/2)≥(1/2)²+1/2
解得 3次根号(1/16)≤a＜1