Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，DE=

AB，

∴OA=OC=OE=DE.

则∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.

设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.

又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.

∴x+2x=108，x=36°. ∴∠CDB=36°；

（2）①有三个：△DOE， △COE， △COD.

∵OE=DE， ∠CDB=36°， ∴△DOE是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，∴

∵OD=2，∴OC=

-1.

∵CD=OD=2，DE=OC=

-1，

∴CE=CD-DE=2-(

-1)=3-

；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）。

ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线

分别交直线AB、CD得到点P ₁、P ₂。

ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点 P3与点A重合。