有人帮我证明下数学的两角和公式,正弦定理,余弦定理,

2个回答

  • sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明

    如图

    我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

    在标准圆中.AB为直径.长度为1由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.

    令角A为角BAC

    角B为角DAC

    则角(A-B)为角BAD

    证明如下:

    cos(A-B)=AD/AB=AD①cosA=AC/AB=AC②sinA=BC/AB=BC③cosB=AE/AC④sinB=CE/AC

    联立①③可知cosB=AE/cosA即cosAcosB=AE.

    所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB

    又AD=AE+ED即只要证明sinAsinB=ED即可

    即要证明BC*CE/AC=ED

    即要证明CE/AC=ED/BC

    注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)

    所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF

    注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF

    即可以证明CE/AC=EF/CF

    即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB

    由sinθ=cos(-θ)

    得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]

    =cos[(-α)-β]

    =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ

    又∵cos(-α)=sinα

    sin(-α)=cosα

    ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    正弦定理证明如下:

    步骤1   在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H

    CH=a·sinB   CH=b·sinA   ∴a·sinB=b·sinA   得到   a/sinA=b/sinB   同理,在△ABC中,   b/sinB=c/sinC   步骤2.   证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:   如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.   作直径BD交⊙O于D.   连接DA.   因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度   因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠ACB.   所以c/sinC=c/sinD=BD=2R