Question

若a,b,c满足a2+b2+c2=9,求（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2的最大值

Answer 1

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

=2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+2ca)

=2(a^2+b^2+c^2)-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]

=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2

=27-(a+b+c)^2

要使上式取得最大值,就要使(a+b+c)^2最小,但(a+b+c)^2≥0,最小为0,所以

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

≤27

最大值为27.