Question

若定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间（0,+∞）上的增函数

Answer 1

1）证:当y=x时,有f(x^2)=f(x)+f(x),

即f(x)=f(x^2)/2

那么f(-x)=f[(-x)^2]/2=f(x^2)/2

∴f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函数

2）根据题设有f(x)+f(x-1/2)=f[(x)+(x-1/2)]=f(2x-1/2)

那么也就是解不等式f(2x-1/2)≤0

∵f(1×1)=f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(1)=0;

即f(2x-1/2)≤f(1)

∵f(x)是偶函数,又∵f(x)是区间（0,+∞）上的增函数

∴|2x-1/2|≤1

∴-1/2≤x≤3/2