解题思路：其中任意5个相邻的数之和都大于36，要使这9个数的和最小是，就要使任意5个相邻的数之和最小，即取37．则+B+C+D+E＞36取37，E+F+G+H+I＞36取37，A+B+C+D+E+E+F+G+H+I＞72取74，即9个数的和就是大于74-E，由于无论怎么取，都会取到E，那么E取最大就行了．这9个数各不相同，且E要取最大，则其他八个数要尽量的小，于是除了E以外的其他8个分别取为1到8，分别放于两侧，且两侧的和相等．据此分析确定即可．
根据题可知，
A+B+C+D+E＞36取37，E+F+G+H+I＞36取37，
则A+B+C+D+E+E+F+G+H+I＞72取74，即9个数的和就是大于74-E，则E取最大值．
且E要取最大，其他八个数要尽量的小；
于是除了E以外的其他8个分别取为1到8，分别放于两侧，且两侧的和相等．
两侧相等的情况就是A+B+C+D=F+G+H+I=（1+2+3+4+5+6+7+8）÷2=18，那么E=37-18=19
则这个数列为：1 3 6 8 19 7 5 4 2．
所以A+B+C+D+E+E+F+G+H=1+2+3+4+5+6+7+8+19=55．
故答案为：55．
点评：
本题考点： 数字和问题．
考点点评： 首先“其中任意5个相邻的数之和都大于36，那么这9个数的和最小”这个条件确定任意五个数和的取值范围是完成本题的关键．