Question

在三角形ABC中,AB=3,AC=5, O、G、H分别为外心、重心、垂心,求1、向量OA·BC 2、向量GA·BC 3、

Answer 1

如下图所示：

AO•AC=|AO||AC|cos∠OAC=|AO||AC|•(|AC|/|AD|)

=1/2|AD||AC|•(|AC|/|AD|)

=1/2|AC|²=25/2,

AO•AB=|AO||AB|cos∠OAB=|AO||AB|•(|AB|/|AD|)

=1/2|AD||AB|•(|AB|/|AD|)

=1/2|AB|²=9/2,

向量OA•BC= OA•(AC-AB)=AO•( AB- AC)

= AO•AB- AO•AC=-8.

向量AG =1/3(AC+AB),

AG•(AC-AB)= 1/3(AC²-AB²)= 1/3• (25-9)=16/3.

向量GA•BC=-16/3.

H为垂心,所以HA⊥BC,∴向量HA•BC=0.