Question

四面体ABCD中,AB=BC=CD=DB,点A在面BCD上的射影恰是CD的中点,则对棱BC与AD所成的角的余弦值等于多少

Answer 1

设AB=BC=CD=DB=a,CD中点为E,则

BE=3^0.5/2*a,AE=a/2,

取AB中点F,BD中点G,AC中点H,则FG//AD,GH//BC

FG=AD/2=2^0.5/2*a,GH=BC/2=a/2

FH^2=a^2/2 (可以建立空间直角坐标系算)

由余弦定理,得

cos(角FGH)=(FG^2+GH^2-FH^2)/2/FG/GH=-2^0.5/4

由平行关系知,对棱BC与AD所成的角与角FGH互补,所以

对棱BC与AD所成的角的余弦值=2^0.5/4