Question

（2010•重庆三模）已知函数f（x）=x2-x+1，数列{an}满足：a1=2，an+1=f（an），其中n∈N*．

Answer 1

解题思路：（I）根据a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 可得a_n+1＞a_n，而a_n≥a₁=2＞1，可得结论；

（II）将a_n+1=a_n²-a_n+1转化成a_n+1-1=a_n（a_n-1），然后利用裂项求和法进行求和，即可证得结论．

（Ⅰ）证明：∵a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 …2分

∴a_n≥a₁=2＞1，则（a_n-1）²≠0⇒a_n+1＞a_n所以1＜a_n＜a_n+1…5分

（Ⅱ）证明：a_n+1=a_n²-a_n+1⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）

所以

1

an+1−1＝

1

an(an−1)＝

1

an−1−

1

an …7分

得

1

an＝

1

an−1−

1

an+1−1

1

an−1＝

1

an−1−1−

1

an−1

1

a1＝

1

a1−1−

1

a2−1

所以

1

a1+

1

a2+…+

1

an＝(

1

an−1−

1

an+1−1)+(

1

an−1−1−

1

an−1) +…+(

1

a1−1−

1

a2−1) …10分

=

1

a1−1−

1

an+1−1=

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与不等式的综合，同时考查了裂项求和法的运用和计算能力的考查，属于中档题．