已知,正方形ABCD的边长为1,直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,l1、l2与正方形ABCD的边总有交点.

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  • 解题思路:(1)分别计算EF、EC、CF的长度,计算△EFC的周长即EF+EC+CF即可;

    (2)证明△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ得AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ,可得△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.

    (3)△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP可得AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.可以求得△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.

    (1)如图1,∵正方形ABCD的边长为1,

    ∴AC=

    2.

    又∵直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1.

    ∴CG=

    2-1.

    ∴EF=2

    2-2,EC=CF=2-

    2.

    ∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2;

    (2)△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.

    如图2,把l1、l2向左平移相同的距离,

    使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3

    过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,G.

    可证△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ.

    ∴AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ.

    ∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长,由已知可计算△CPQ的周长为2,

    ∴△EFC与△AMN的周长的和为2;

    (3)△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化.

    如图3,把l1、l2平移相同的距离,使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3

    过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,S.过A作l1的垂线,垂足为H.

    可证△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP,

    ∴AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.

    ∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.

    如图4,过A作l3的垂线,垂足为T.连接AP、AQ.

    可证△APT≌△APD,△AQT≌△AQB,

    ∴DP=PT,BQ=TQ.

    ∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2.

    ∴△EFC与△AMN的周长的和为2.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;几何变换的类型.

    考点点评: 本题考查了正方形各边长相等的性质,正方形各内角为直角的性质,勾股定理在直角三角形中的运用,几何变换类型题目的解决方法.