解题思路:(1)分别计算EF、EC、CF的长度,计算△EFC的周长即EF+EC+CF即可;
(2)证明△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ得AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ,可得△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.
(3)△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP可得AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.可以求得△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.
(1)如图1,∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=
2.
又∵直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1.
∴CG=
2-1.
∴EF=2
2-2,EC=CF=2-
2.
∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2;
(2)△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.
如图2,把l1、l2向左平移相同的距离,
使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3,
过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,G.
可证△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ.
∴AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ.
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长,由已知可计算△CPQ的周长为2,
∴△EFC与△AMN的周长的和为2;
(3)△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化.
如图3,把l1、l2平移相同的距离,使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3,
过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,S.过A作l1的垂线,垂足为H.
可证△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP,
∴AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.
如图4,过A作l3的垂线,垂足为T.连接AP、AQ.
可证△APT≌△APD,△AQT≌△AQB,
∴DP=PT,BQ=TQ.
∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2.
∴△EFC与△AMN的周长的和为2.
点评:
本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;几何变换的类型.
考点点评: 本题考查了正方形各边长相等的性质,正方形各内角为直角的性质,勾股定理在直角三角形中的运用,几何变换类型题目的解决方法.